Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

Answer - Unknown Directive

Vormen van warmtetransport zijn straling, geleiding en stroming.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.image as mpimg
img = mpimg.imread('Controle vergelijking wet van Newton.png')
plt.imshow(img)
plt.axis('off') 
plt.show()

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

img = mpimg.imread('Vereenvoudiging delta T.png')
plt.imshow(img)
plt.axis('off') 
plt.show()

img = mpimg.imread('Relatieve-fout-berekening.png')
plt.imshow(img)
plt.axis('off') 
plt.show()

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

diameter_buiten=5.01/100 #m
hoogte=10.18/100 #m
diameter_binnen =4.67/100 #m

buitenoppervlak=diameter_buiten*np.pi*hoogte

binneninhoud=1/4*np.pi*diameter_binnen**2*hoogte
buiteninhoud=1/4*np.pi*diameter_buiten**2*hoogte
inhoud=buiteninhoud-binneninhoud

# De buis is gemaakt van messing.
rho_messing=8.73*10**3 #kg/m^3
m_buis=rho_messing*inhoud # kg
C_messing=3.8*10**2 #J/kg K
warmtecapaciteit=C_messing*m_buis #J/K


# Data
T_omg=21.0+273 #K
# Met dop
temps_met_dop=np.array([47.2,46.9, 46.1, 45.6, 45.0, 44.0, 43.5, 42.8, 42.3, 41.5, 41.1, 40.2, 39.6, 39.0, 38.4, 37.9, 37.4, 36.9, 36.4, 35.9, 35.5, 35.2, 34.9])+273 #K
times_met_dop=np.array([10, 15, 25, 33, 40, 55, 65, 75, 85, 100, 115, 130, 145, 160, 175, 190, 205, 220, 235, 250, 265, 280, 295])+45 #s #De metingen met dop begonnen 45 seconden later
# Zonder dop
temps_zonder_dop=np.array([45.7, 45.3, 44.5, 43.8, 42.9, 42.2, 41.4, 40.7, 40.1, 39.4, 38.7, 38.1, 37.7, 37.0, 36.7, 35.9])+273 #K
times_zonder_dop=np.array([75,90,105,120,135,150,165,180,195,210,225,240,255,270,285,300]) #s

Resultaten¶

# Met dop:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = buitenoppervlak # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = warmtecapaciteit # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times = times_met_dop
temps = temps_met_dop

# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[np.max(temps_met_dop)-T_omg, 50, T_omg], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

x_test=np.linspace(0,350,1000)
y_fit = exp_func(x_test, *popt)

plt.figure()
plt.title('Koeling metalen buis met dop')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')
plt.plot(times, temps, 'bo')
plt.plot(x_test, y_fit, 'r-', label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))
plt.xlim(0,350)
plt.legend()
plt.savefig(r"C:\Users\ville\Downloads\TU Delft\2025-2026\Q2\IP2\Project\thermolab-1\Figures\Grafiek metalen buis met dop.png", dpi=450)
plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print('De waarde van h met de dop erop is %.2f W/m^2 K' %h_exp) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K

De waarde van h met de dop erop is 22.89 W/m^2 K

#Zonder dop:
def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = buitenoppervlak # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = warmtecapaciteit # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times = times_zonder_dop
temps = temps_zonder_dop


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[np.max(times_zonder_dop)-T_omg, 50, T_omg], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.title('Koeling metalen buis zonder dop')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')
plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))
plt.legend()
plt.savefig(r"C:\Users\ville\Downloads\TU Delft\2025-2026\Q2\IP2\Project\thermolab-1\Figures\Grafiek metalen buis zonder dop.png", dpi=450)
plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print('De waarde van h zonder de dop erop is %.2f W/m^2 K' %h_exp) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K

De waarde van h zonder de dop erop is 10.30 W/m^2 K

Discussie en conclusie¶

De waarde van $\tau$ is bij beide metingen redelijk hoog. Een reden hiervoor kan zijn dat de meting later begon dan dat de buis uit het water gehaald is. Als dit experiment herhaald wordt, zou de temperatuur gelijk gemeten moeten worden voor een betere waarde van $\tau$ .